Back

ⓘ Подударност троуглова



Подударност троуглова
                                     

ⓘ Подударност троуглова

Два троугла ABC и A 1 B 1 C 1 су подударна ако постоји изометрија која први преводи на други. Другим речима, два троугла су подударна када имају једнаке одговарајуће странице, једнаке углове, тежишнице, висине, итд. Тада пишемо

Δ A B C ≅ Δ A 1 B 1 C 1. {\displaystyle \Delta ABC\cong \Delta A_{1}B_{1}C_{1}.}

Површина троугла, и многоугла, је позитивно оријентисана када се крећемо од темена до темена ABCDE. по многоугаоној линији, лексикографским поретком, и при томе нам је област многоугла увек са леве стране. Дакле, позитиван смер обилажења троугла је обрнут смеру казаљке на сату. Странице супротне теменима A, B, C троугла обично означавамо малим словима a, b, c. Углове у тим теменима означавамо грчким малим словима α, β, γ. Према томе, претходна подударност може се написати и овако:

a = a 1, b = b 1, c = c 1, α = α 1, β = β 1, γ = γ 1. {\displaystyle a=a_{1},\;b=b_{1},\;c=c_{1},\;\alpha =\alpha _{1},\;\beta =\beta _{1},\;\gamma =\gamma _{1}.}

Да би се доказала подударност два троугла није потребно доказивати подударност једнакост свих страница и свих углова тих троуглова, довољне су само три једнакости. Довољна су следећа четири става:

  • ССС: Два троугла су подударна ако и само ако су странице једног троугла једнаке одговарајућим страницама другог.
  • ССУ: Два троугла су подударна ако и само ако су две странице и угао наспрам веће од њих у једном троуглу једнаки са две одговарајуће странице и углом другог.
  • СУС: Два троугла су подударна ако и само ако су две странице једног троугла и угао захваћен њима једнаки одговарајућим страницама и углу другог троугла.
  • УСУ: Два троугла су подударна ако и само ако имају једнаку по једну страницу и оба одговарајућа угла налегла на ту страницу.

Последњи став се може изрећи и овако: Два троугла су подударна ако и само ако су две странице и угао наспрам једне од њих у једном троуглу једнаки са две одговарајуће странице и углом другог, а оба троугла су исте врсте, тј. оба су оштра, правоугла, или тупоугла. Међутим, без додатка да је угао наспрам веће стране, или да су оба троугла исте врсте, имали бисмо ситуацију као на слици лево. Троуглови AB 1 C и AB 2 C су очигледно различити разликују се за троугао B 1 B 2 C, али оба имају једнаке по две стране и угао: a, b, α.

Често је лакше доказати подударност неких троуглова него многоуглова, па и страница на некој геометријској фигури. Зато је подударност троуглова веома важна у геометрији.

Дате су странице b, c {\displaystyle b,c} и угао β {\displaystyle \beta }. Једначина за угао γ {\displaystyle \gamma } се може применити из закона синуса:

sin ⁡ γ = c b sin ⁡ β. {\displaystyle \sin \gamma ={\frac {c}{b}}\sin \beta.}

D = c b sin ⁡ β {\displaystyle ~D={\frac {c}{b}}\sin \beta } Четири могуће ситуације:

  • Ако је D = 1 {\displaystyle D=1}, постоји јединствено решење: γ = 90 ∘ {\displaystyle \gamma =90^{\circ }}, нпр, троугао је правоугли.
  • Ако је D > 1 {\displaystyle D> 1}, такав троугао не постоји јер страница b {\displaystyle b} не додирује BC. Из истог разлога, нема решења ако је угао β ⩾ 90 ∘ {\displaystyle \beta \geqslant 90^{\circ }} и b ⩽ c. {\displaystyle b\leqslant c.}
Free and no ads
no need to download or install

Pino - logical board game which is based on tactics and strategy. In general this is a remix of chess, checkers and corners. The game develops imagination, concentration, teaches how to solve tasks, plan their own actions and of course to think logically. It does not matter how much pieces you have, the main thing is how they are placement!

online intellectual game →