Back

ⓘ Фробенијусов метод




                                     

ⓘ Фробенијусов метод

Фробенијусов метод представља један од метода решавања диференцијалних једначина другога реда облика:

z 2 u ″ + p z u ′ + q z u = 0 {\displaystyle z^{2}u+pzzu+qzu=0\,}

где су:

u ′ ≡ d u d z {\displaystyle u\equiv u=0}

Метода је добила име по немачком математичару Фердинанду Фробенијусу.

                                     

1. Метода

Према Фробенијусовој методи тражимо решење у облику реда:

u z = ∑ k = 0 ∞ A k z k + r, A 0 ≠ 0 {\displaystyle uz=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r},\qquad A_{0}\neq 0}

Диференцирањем добијамо:

u ′ z = ∑ k = 0 ∞ k + r A k z k + r − 1 {\displaystyle uz=\sum _{k=0}^{\infty }k+rA_{k}z^{k+r-1}} u ″ z = ∑ k = 0 ∞ k + r − 1 k + r A k z k + r − 2 {\displaystyle uz=\sum _{k=0}^{\infty }k+r-1k+rA_{k}z^{k+r-2}}

После тога горе добиујене редове супституирамо у диференцијалну једначину и добијамо:

z 2 ∑ k = 0 ∞ k + r − 1 k + r A k z k + r − 2 + z p z ∑ k = 0 ∞ k + r A k z k + r − 1 + q z ∑ k = 0 ∞ A k z k + r = ∑ k = 0 ∞ k + r − 1 k + r A k z k + r + p z ∑ k = 0 ∞ k + r A k z k + r + q z ∑ k = 0 ∞ A k z k + r = ∑ k = 0 ∞ k + r − 1 k + r A k z k + r + p z k + r A k z k + r + q z A k z k + r = ∑ k = 0 ∞ A_{j}=A_{k}}

Горње решење са A k је:

U r z = ∑ k = 0 ∞ A k z k + r {\displaystyle U_{r}z=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}}

и задовољава:

z 2 U r z ″ + p z U r z ′ + q z U r z = I r z r {\displaystyle z^{2}U_{r}z+pzzU_{r}z+qzU_{r}z=Irz^{r}\!\;}

Одаберемо ли један од корена иницијалнога полинома, тада добијамо решење диференцијалне једначине.

                                     

2. Пример

Покушамо ли да решимо следећи диференцијалну једначину:

z 2 f ″ − z f ′ + 1 − z f = 0 {\displaystyle z^{2}f-zf+1-zf=0\,}

Поделимо ли је са z 2 добијамо:

f ″ − 1 z f ′ + 1 − z 2 f = f ″ − 1 z f ′ + 1 z 2 − 1 z f = 0 {\displaystyle f-{1 \over z}f+{1-z \over z^{2}}f=f-{1 \over z}f+\left{1 \over z^{2}}-{1 \over z}\rightf=0}

Претпостављамо решења у облику реда:

f = ∑ k = 0 ∞ A k z k + r {\displaystyle f=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}} f ′ = ∑ k = 0 ∞ k + r A k z k + r − 1 {\displaystyle f=\sum _{k=0}^{\infty }k+rA_{k}z^{k+r-1}} f ″ = ∑ k = 0 ∞ k + r k + r − 1 A k z k + r − 2 {\displaystyle f=\sum _{k=0}^{\infty }k+rk+r-1A_{k}z^{k+r-2}}

и та решења супституирамо у горњу једначину:

∑ k = 0 ∞ k + r k + r − 1 A k z k + r − 2 − 1 z ∑ k = 0 ∞ k + r A k z k + r − 1 + 1 z 2 − 1 z ∑ k = 0 ∞ A k z k + r = ∑ k = 0 ∞ k + r k + r − 1 A k z k + r − 2 − 1 z ∑ k = 0 ∞ k + r A k z k + r − 1 + 1 z 2 ∑ k = 0 ∞ A k z k + r − 1 z ∑ k = 0 ∞ A k z k + r = ∑ k = 0 ∞ k + r k + r − 1 A k z k + r − 2 − ∑ k = 0 ∞ k + r A k z k + r − 2 + ∑ k = 0 ∞ A k z k + r − 2 − ∑ k = 0 ∞ A k z k + r − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k=0}^{\infty }k+rk+r-1A_{k}z^{k+r-2}-{1 \over z}\sum _{k=0}^{\infty }k+rA_{k}z^{k+r-1}+\left{1 \over z^{2}}-{1 \over z}\right\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }k+rk+r-1A_{k}z^{k+r-2}-{1 \over z}\sum _{k=0}^{\infty }k+rA_{k}z^{k+r-1}+{1 \over z^{2}}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}-{1 \over z}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }k+rk+r-1A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }k+rA_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-1}\end{aligned}}}

Померамо индексе последње суме, тако да се добија:

= ∑ k = 0 ∞ k + r k + r − 1 A k z k + r − 2 − ∑ k = 0 ∞ k + r A k z k + r − 2 + ∑ k = 0 ∞ A k z k + r − 2 − ∑ k − 1 = 0 ∞ A k − 1 z k + r − 2 = ∑ k = 0 ∞ k + r k + r − 1 A k z k + r − 2 − ∑ k = 0 ∞ k + r A k z k + r − 2 + ∑ k = 0 ∞ A k z k + r − 2 − ∑ k = 1 ∞ A k − 1 z k + r − 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&=\sum _{k=0}^{\infty }k+rk+r-1A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }k+rA_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k-1=0}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }k+rk+r-1A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }k+rA_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\end{aligned}}}

Стартни индекс за k =0 се посебно пише, па се добија:

= r − 1 A 0 z r − 2) + ∑ k = 1 ∞ k + r k + r − 1 A k z k + r − 2 − r A 0 z r − 2) − ∑ k = 1 ∞ k + r A k z k + r − 2 + A 0 z r − 2 + ∑ k = 1 ∞ A k z k + r − 2 − ∑ k = 1 ∞ A k − 1 z k + r − 2 = r − 1 − r + 1) A 0 z r − 2 + ∑ k = 1 ∞ k + r k + r − 1 − k + r + 1) A k − A k − 1) z k + r − 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&=rr-1A_{0}z^{r-2})+\sum _{k=1}^{\infty }k+rk+r-1A_{k}z^{k+r-2}-rA_{0}z^{r-2})-\sum _{k=1}^{\infty }k+rA_{k}z^{k+r-2}\\&{}+A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=rr-1-r+1)A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }\leftk+rk+r-1-k+r+1)A_{k}-A_{k-1}\right)z^{k+r-2}\end{aligned}}}

Једно решење добијамо решавањем иницијалнога полинома r − 1 − r + 1 = r 2 − 2 r + 1 = 0, односно добијамо да је 1 двоструки корен. Користећи тај корен коефицијенти од z k + r − 2 треба да буду нула, шта даје рекурзију:

k + 1 k − k + 1 + 1) A k − A k − 1 = k 2 A k − A k − 1 = 0 {\displaystyle k+1k-k+1+1)A_{k}-A_{k-1}=k^{2}A_{k}-A_{k-1}=0\,} A k = A k − 1 k 2 {\displaystyle A_{k}={A_{k-1} \over k^{2}}}

Пошто је омер A k / A k − 1 {\displaystyle A_{k}/A_{k-1}} рационална функција онда се ред може написати као општи хипергеометријски ред.

                                     
  • полином Фробенијусова факторизација Перон - Фробенијусов оператор Фробенијус - Перонова теорема Фробенијусов хомомофризам комутативне алгебре Фробенијусов критериј
  • operacija koje redukuju pojedinačni red mogu se posmatrati kao množenje Frobenijusovom matricom. Tada prvi deo algoritma izračunava LU dekompoziciju, dok drugi

Users also searched:

...