Back

ⓘ Функција преноса




Функција преноса
                                     

ⓘ Функција преноса

Функција преноса, један је од начина математичког описа динамичког понашања система. Углавном се користи у теорији аутоматског управљања, комуникација и дигиталне обраде сигнала. Представља диференцијални оператор, који изражава однос између улаза и излаза линеарног стационарног система. Знајући улаз система и функцију преноса, може се реконструисати излазни сигнал. Једноставније речено, преносна функција је математички приказ односа између улаза и излаза динамичког система.

У временском домену, такав систем карактерише импулсни одзив, трансформацијом улазног сигнала Ut у излазни сигнал Yt. Са одговарајућом трансформацијом могу се заменити улазни сигнал у Us и излазни у Ys, па је њихов однос функција преноса. У теорији управљања, функција преноса система дефинише се као однос Лапласове трансформације излазног сигнала и улаза, са нултим почетним условима.

За континуалне сигнале, функција преноса помоћу Лапласа даје опште информације о систему, посебно информације о његовој стабилности.

                                     

1. Линеарни стационарни системи

При разматрању теорије линеарних стационарних система, усвојено је да је однос излазног и улазног сигнала функцију преноса:

W s = Y s U s {\displaystyle Ws={\frac {Ys}{Us}}},

Где је:

  • Y s {\displaystyle Ys\!} - излазни сигнал излаз, или одзив
  • U s {\displaystyle Us\!} - улазни сигнал улаз

У овом облику, улаз и излаз, добијени су са Лапласовом трансформацијом сигнала у временском домену u t {\displaystyle ut\!} и y t {\displaystyle yt\!}, сагласно релацијама:

U s = L { u t } ≡ ∫ − ∞ ∞ u t e − s t d t {\displaystyle Us={\mathcal {L}}\left\{ut\right\}\equiv \int \limits _{-\infty }^{\infty }ute^{-st}\,dt}, Y s = L { y t } ≡ ∫ − ∞ ∞ y t e − s t d t {\displaystyle Ys={\mathcal {L}}\left\{yt\right\}\equiv \int \limits _{-\infty }^{\infty }yte^{-st}\,dt}.
                                     

2. Дискретна функција преноса

За дигитални и дискретно непрекидни систем назива се дискретна функција преноса. Сигнал u k {\displaystyle uk\!} - улазни дискретни сигнал одговарајућег система, а y k {\displaystyle yk\!} - је дискретни излазни сигнал, k = 0, 1, 2, … {\displaystyle k=0.1.2,\dots \!}. Тада се функција преноса система W z {\displaystyle Wz\!} може написати у облику:

W z = Y z U z {\displaystyle Wz={\frac {Yz}{Uz}}},

Где је U z {\displaystyle Uz\!} и Y z {\displaystyle Yz\!} - z-конверзија за сигнале u k {\displaystyle uk\!} и y k {\displaystyle yk\!} сагласно:

U z = Z { u k } ≡ ∑ k = 0 ∞ u k z − k {\displaystyle Uz={\mathcal {Z}}\left\{uk\right\}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }ukz^{-k}}, Y z = Z { y k } ≡ ∑ k = 0 ∞ y k z − k {\displaystyle Yz={\mathcal {Z}}\left\{yk\right\}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }ykz^{-k}}.
                                     

3. Однос са другим динамичким карактеристикама

  • Амплитудно и фазно фреквентни одзив може се добити из функције преноса помоћу формалне замене са коплесном променљивом s {\displaystyle s\!} са j ω {\displaystyle j\omega \!}
W j ω ≡ W s, s = j ω {\displaystyle Wj\omega\equiv Ws,s=j\omega \!}.
  • Импулсна функција преноса је оригинал за функцију преноса Лапласове трансформације.
                                     

4. Особине функције преноса

1. За стационарне објекте преносна функција, сврстава се у рационалне функције са комплексном променљивом s {\displaystyle s\!}:

W s = R s Q s = b 0 s m + b 1 s m − 1 + ⋯ + b m a 0 s n + a 1 s n − 1 + ⋯ + a n {\displaystyle Ws={\frac {Rs}{Qs}}={\frac {b_{0}s^{m}+b_{1}s^{m-1}+\dots +b_{m}}{a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+\dots +a_{n}}}}.

2. Именилац функције преноса је карактеристичан полином система. Полови функције преноса су корени карактеристичног полинома.

3. У физички реалним системима, ред бројиоца преносне функције m {\displaystyle m\!}, не може прећи ред имениоца n {\displaystyle n\!}.

4. Импулсна функција преноса је оригинал за функцију преноса пре Лапласове трансформације.

                                     

5. Матрица функције преноса

За вишеструки улаз и вишеструки излаз, уводи се систем матрице функције преноса. Матрица функције преноса од улаза вектора система U t {\displaystyle Ut\!} и од вектора излаза Y t {\displaystyle Yt\!}, представља матрицу W = { w i, j } {\displaystyle W=\{w_{i,j}\}\!}, где су њени елементи i {\displaystyle i\!}, у томе реду j {\displaystyle j\!}. Друга колона представља функцију преноса система од i {\displaystyle i\!}, од координате вектора излаза система, на вектор улаза j {\displaystyle j\!}.

                                     

6. Са повратном спрегом

Када систем управљања поседује повратну спрегу слика десно, тада су уочљиве две функције преноса:

  • Функција преноса система са затвореном повратном спрегом, која се назива функција спрегнутог преноса
W s = G 1 + G H {\displaystyle W_{s}s={\frac {G}{1+GH}}},
  • функција преноса система са отвореном повратном спрегом, која се назива функција повратног преноса
W s = G H {\displaystyle \ Ws=\ GH}.
                                     

7. Управљање у инжињерству

У инжињерској теорији управљања, функција преноса је изведена помоћу Лапласове трансформације.

Функција преноса је примарни алат, који се користи у класичном управљању у енергетици. Међутим, он се показао гломазан за анализу система са више улаза и са више излаза, и у великој мери замењен је са приказом стања простора за овакве системе. Упркос томе, матрица функције преноса може се увек добити за било који линеарни систем, како би се анализирала динамика и друга својства. Сваки елеменат матрице је функција преноса, односи се на променљиви улаз и излаз.

                                     

7.1. Управљање у инжињерству Оптика

У оптици, функција преноса означава могућност модулације оптичког преноса контраста.

Пример, када се посматра серија црно-белих светлосних пруга, нацртаних са специфичном просторном фреквенцијом, квалитет слике може опадати. Бела пруга бледи док црне постају светлије.

функција преноса модулације M T F {\displaystyle \mathrm {MTF} } у одређеним просторним учестаностима је дефинисана:

M T f = M s l i k a M i z v o r {\displaystyle \mathrm {MTF} f={\frac {M{slika}}{M{izvor}}}}

Где модулација М зависи од следеће слике или интензитета осветљења:

M = L m a x − L m i n L m a x + L m i n {\displaystyle M={\frac {L_{\mathrm {max} }-L_{\mathrm {min} }}{L_{\mathrm {max} }+L_{\mathrm {min} }}}}
                                     

8. Спољашње везе

  • ECE 209: Sources of Phase Shift - Gives an intuitive explanation of the source of phase shift in two simple LTI systems. Also verifies simple transfer functions by using trigonometric identities.
  • Анализа система
  • ECE 209: Review of Circuits as LTI Systems - Short primer on the mathematical analysis of electrical LTI systems.