Back

ⓘ Мјерљиви простор




                                     

ⓘ Мјерљиви простор

У математици, мјерљиви простор или Борелов простор је основни објект у теорији мјера. Састоји се од скупа и σ-алгебре на овом скупу и даје информације о скуповима који ће се мјерити.

                                     

1. Дефиниција

Размотримо неиспразни скуп X {\displaystyle X} и σ-алгебру A {\displaystyle {\mathcal {A}}} на X {\displaystyle X}. Тада се торка X, A {\displaystyle X,{\mathcal {A}}} назива мјерљивим простором.

Имајте на уму да за разлику од простора за мјерење, није потребна никаква мјера за мјерљиви простор.

                                     

2. Примјер

Погледајте скуп

X = { 1, 2, 3 }. {\displaystyle X=\{1.2.3\}.}

Једна могућа σ-алгебра би била

A 1 = { X, ∅ }. {\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}=\{X,\emptyset \}.}

Тада је X, A 1 {\displaystyle X,{\mathcal {A}}_{1}} мјерљиви простор. Друга могућа σ-алгебра била био партитивни скуп на X {\displaystyle X}:

A 2 = P X. {\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}={\mathcal {P}}X.}

Са овим, други мјерљиви простор на скупу X {\displaystyle X} је дат са X, A 2 {\displaystyle X,{\mathcal {A}}_{2}}.

                                     

3. Обични мјерљиви простори

Ако је X {\displaystyle X} коначан или пребројив бесконачан, σ-алгебра је већину времена партитивни скуп на X {\displaystyle X}, тако да је A = P X {\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}X}. То доводи до мјерног простора X, P X) {\displaystyle X,{\mathcal {P}}X)}.

Ако је X {\displaystyle X} тополошки простор, σ-алгебра је најчешће Борелова σ-алгебра B {\displaystyle {\mathcal {B}}}, тако да је A = B X {\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}X}. То доводи до мјерљивог простора X, B X) {\displaystyle X,{\mathcal {B}}X)} који је заједнички за све тополошке просторе као што су реални бројеви R {\displaystyle \mathbb {R} }.

                                     

4. Двосмисленост са Бореловим просторима

Термин Борелов простор се користи за различите типове мјерљивих простора. Може се односити на

  • мјерљиви простор који је Борел изоморфан мјерљивом подскупу реалних бројева из Борелове σ-алгебре
  • било који мјерљиви простор, тако да је синоним за мјерљиви простор као што је горе дефинисано
                                     
  • употреба је да се елементи ове под - алгебре називају мјерљиви скупови и такви простори мјерљиви простори Разлог за ову разлику је да су Борелови скупови
  • температура је 29 C, а падавине су неуобичајене између јуна и августа мјерљиве количине падавина забиљеже се у просјеку током само петнаест дана. Љетни