Back

ⓘ Фајнман-Кацова формула




                                     

ⓘ Фајнман-Кацова формула

Фајнман-Кацова формула, названа по Ричарду Фајнману и Марку Кацу, успоставља везу између параболичних парцијалних диференцијалних једначина и стохастичких процеса. Када су Марк Кац и Ричард Фајнман били на Корнелу, Кац је присуствовао Фајнмановом предавању и приметио да њих двојица раде на истој ствари из различитих праваца. Добијена је Фајнман-Кацова формула, која строго доказује стварни случај Фајнманових интегралних путања. Сложени случај, који се јавља када је укључен и спин честице, још није доказан.

Ова формула нуди метод рјешавања одређених парцијелних диференцијалних једначина симулацијом случајних путања стохастичког процеса. Насупрот томе, важна класа очекивања случајних процеса може се израчунати помоћу детерминистичких метода.

                                     

1. Теорема

Размотримо парцијалне диференцијалне једначине

∂ u ∂ t x, t + μ x, t ∂ u ∂ x x, t + 1 2 σ 2 x, t ∂ 2 u ∂ x 2 x, t − V x, t u x, t + f x, t = 0, {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}x,t+\mu x,t{\frac {\partial u}{\partial x}}x,t+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}x,t{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}x,t-Vx,tux,t+fx,t=0,}

дефинисане за све x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } и t ∈ }

под мјером вјероватноће Q, тако да је X Itô процес вођен једначином

d X = μ X, t d t + σ X, t d W Q, {\displaystyle dX=\mu X,t\,dt+\sigma X,t\,dW^{Q},}

где је W Q t Винеров процес такође познат као Брауново кретање под Q, а почетни услов за X t је X t = x.

                                     

2. Доказ

Доказ да је ова формула рјешење диференцијалне једначине је дуг, тежак и није приказан овде. Међутим, разумно је једноставно показати да, ако постоји рјешење, оно мора имати облик наведен изнад.

Нека је u x, t рјешење горенаведене диференцијалне једначине. Примјеном правила производа у Itô процесу на процес

Y s = e − ∫ t s V X τ, τ d τ u X s, s + ∫ t s e − ∫ t r V X τ, τ d τ f X r, r d r {\displaystyle Ys=e^{-\int _{t}^{s}VX_{\tau },\tau\,d\tau }uX_{s},s+\int _{t}^{s}e^{-\int _{t}^{r}VX_{\tau },\tau\,d\tau }fX_{r},r\,dr}

добија се

d Y = d e − ∫ t s V X τ, τ d τ) u X s, s + e − ∫ t s V X τ, τ d τ d u X s, s + d e − ∫ t s V X τ, τ d τ) d u X s, s + d ∫ t s e − ∫ t r V X τ, τ d τ f X r, r d r) {\displaystyle {\begin{aligned}dY={}&d\lefte^{-\int _{t}^{s}VX_{\tau },\tau\,d\tau }\right)uX_{s},s+e^{-\int _{t}^{s}VX_{\tau },\tau\,d\tau }\,duX_{s},s\\}
                                     
  • Валарти и Фајнману Када су се следећи пут срели, Фајнман је весело питао Валарту да ли је видео Хајзенбергову књигу. Валарта је знао зашто се Фајнман цери

Users also searched:

...