Back

ⓘ Аксиома упаривања




                                     

ⓘ Аксиома упаривања

У аксиоматској теорији скупова и областима логике, математике, и рачунарства које се њоме користе, аксиома упаривања је једна од аксиома Зермело-Френкел теорије скупова.

                                     

1. Формални исказ

У формалном језику Зермело-Френкел аксиома, аксиома гласи:

∀ A ∀ B ∃ C ∀ D }

или написано речима:

За било који дати скуп A и било који скуп B, постоји скуп C, такав да, за било који дати скуп D, D је члан C ако и само ако D је једнако A или D је једнако B.

Или простије речено:

За два дата скупа, постоји скуп чији су елементи управо два дата скупа.
                                     

2. Интерпретација

Ова аксиома заправо каже да за два дата скупа A и B, може да се нађе скуп C, чији су елементи тачно A и B. Може да се користи аксиома екстензионалности да се покаже да је овај скуп C јединствен. Скуп C се назива паром за A и B, и означава се са { A, B }. Значи, суштина аксиоме је:

Свака два скупа имају пар.

{ A, A } се скраћено записује као { A }, и назива се синглтон који садржи A. Ваља уочити да је синглтон посебан случај пара.

Аксиома упаривања такође допушта дефиницију уређених парова. За свака два скупа a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b}, уређени пар се дефинише на следећи начин:

a, b = { { a }, { a, b } }. {\displaystyle a,b=\{\{a\},\{a,b\}\}.\,}

Ова дефиниција задовољава услов

a, b = c, d ⟺ a = c ∧ b = d. {\displaystyle a,b=c,d\iff a=c\land b=d.}

Уређена n -торка може рекурзивно да се дефинише на следећи начин:

a 1, …, a n = a 1, …, a n − 1, a n). {\displaystyle a_{1},\ldots,a_{n}=a_{1},\ldots,a_{n-1},a_{n}).\!}
                                     

3. Не-независност

Аксиома упаривања се генерално сматра неконтроверзном, и она или њен еквивалент се појављује у мање-више свакој алтернативној аксиоматској теорији скупова. Па ипак, у стандардној формулацији Зермело-Френкел теорије скупова, аксиома упаривања следи из шеме аксиома замене примењене на било који дати скуп са два или више елемената, и стога се понекад изоставља. Постојање таквог скупа са два елемента, као што је { {}, { {} } }, може да се дедукује било из аксиоме празног скупа и аксиоме партитивног скупа или из аксиоме бесконачности.

                                     

4. Уопштење

Заједно са аксиомом празног скупа, аксиома упаривања може да се уопшти у следећу шему:

∀ A 1 … ∀ A n ∃ C ∀ D }

то јест:

За било који дати коначни број скупова A 1 до A n, постоји скуп C чији елементи су управо A 1 до A n.

Овај скуп C је такође јединствен по аксиоме екстензионалности, и означава се као { A 1., A n }.

Наравно, није могуће ригорозно говорити о коначном броју скупова ако претходно није дефинисан коначан скуп коме поменути скупови припадају.

Стога ово није један исказ већ шема, са засебним исказом за сваки природан број n.

  • Случајеви n > 2 могу да се докажу узастопним коришћењем аксиоме упаривања и аксиоме уније.
  • Случај n = 1 је аксиома упаривања за A = A 1 и B = A 1.
  • Случај n = 2 је аксиома упаривања за A = A 1 и B = A 2.

На пример, како би се доказао случај n = 3, користи се аксиома упаривања три пута да се произведе пар { A 1, A 2 }, синглтон { A 3 }, а затим пар. Аксиома уније затим производи жељени резултат, { A 1, A 2, A 3 }. Ова шема може да се прошири да укључује n = 0 ако се тај случај интерпретира као аксиома празног скупа.

Стога, ова аксиома може да се користи као шема аксиома уместо аксиоме празног скупа и аксиоме упаривања. Међутим, уобичајено је да се аксиома празног скупа и аксиома упаривања користе засебно, а затим да се докаже ово уопштење као шема теорема. Његово усвајање као шеме аксиома не би заменило аксиому уније, која би и даље била потребна за друге ситуације.



                                     

5. Још једна алтернатива

Још једна аксиома која имплицира аксиому упаривања у присуству аксиоме празног скупа гласи:

∀ A ∀ B ∃ C ∀ D }.

Узимањем {} за A а x за B, добија се { x } за C. Затим се узма { x } за A а y за B, што даје { x, y } за C. Може да се настави са овим и да се изгради било који коначан скуп. И ово може да се користи да се генеришу сви наследно коначни скупови без коришћења аксиоме избора.

                                     
  • бесконачности, аксиоме спецификације и аксиоме замене. Често се јављају алтернативни облици првих осам аксиома На пример, аксиома упаривања 4 је често