Back

ⓘ Мера Лебега




                                     

ⓘ Мера Лебега

У математици, мера Лебега, је стандардан начин за додељивање дужине, површине или запремине подскуповима Еуклидског простора. Добила је име по француском математичару Анрију Лебегу. Користи се у реалној анализи, у дефинисању Лебегове интеграције. Скупови којима се може придружити запремина се називају Лебег мерљивим ; запремина или мера Лебег мерљивог скупа A се означава са λ. Дозвољава се да скуп буде Лебег мере ∞.

Уз претпоставку аксиоме избора, нису сви подскупови од R n Лебег мерљиви, нити се може на скупу свих подскупова овог простора дефинисати мера која би задовољавала уобичајене аксиоме укључујући и σ-адитивност. Необично понашање немерљивих скупова доводи до контраинтуитивних исказа као што је парадокс Банаха-Тарског, који представља последицу аксиоме избора.

Унутар интеграла по Лебегу, мера Лебега се често означава са d x {\displaystyle \mathrm {d} x}, али ово не треба мешати са другачијим појмом запреминске форме.

                                     

1. Примери

  • Канторов скуп је пример непребројивог скупа чија мера Лебега је једнака нули.
  • Ако је A затворен интервал, онда се ради о правоугаонику, и његова мера Лебега је површина b − ad − c.
                                     

2. Својства

Лебегова мера на R n има следећа својства:

  • Општије, ако је T линеарна трансформација и A је мерљив подскуп од R n, онда је T A такође Лебег мерљив скуп и има меру | det T | λ A {\displaystyle |\detT|\lambda A}.
  • Мера Лебега је уједно и локално коначна и регуларна изнутра, па је она и Радонова мера.
  • Ако је A Лебег мерљив скуп, онда је он "приближно отворен" и "приближно затворен" у смислу мере Лебега видети: теорема регуларности за меру Лебега.
  • Ако је A дисјунктна унија коначно много или пребројиво много дисјунктних Лебег мерљивих скупова, онда је и сам скуп A Лебег мерљив и λA је једнако збиру односно суми реда уколико је број сабирака бесконачан мера скупова који припадају унији.
  • Ако је A отворен или затворен подскуп од R n или чак Борелов скуп, онда је A Лебег мерљив.
  • Ако је A Декартов производ интервала I 1 × I 2 ×. × I n, онда је A Лебег мерљив, и λ A = | I 1 | ⋅ | I 2 | ⋯ | I n |. {\displaystyle \lambda A=|I_{1}|\cdot |I_{2}|\cdots |I_{n}|.} Овде | I | {\displaystyle |I|} означава дужину интервала I.
  • Ако је A Лебег мерљив, онда је и његов комплемент Лебег мерљив.
  • Ако је A Лебег мерљив, и δ > 0 {\displaystyle \delta > 0}, онда је дилатација A {\displaystyle A} фактором δ {\displaystyle \delta }, дефинисана као δ A = { δ x: x ∈ A } {\displaystyle \delta A=\{\delta x:x\in A\}} такође Лебег мерљива и има меру δ n λ A {\displaystyle \delta ^{n}\lambda \,A}.
  • Мера Лебега је строго позитивна на непразним отвореним скуповима, па је њен носач цео простор R n.
  • Пребројиве уније и пресеци Лебег мерљивих скупова су Лебег мерљиви.
  • Ако је A Лебег мерљив и x је елемент од R n, онда је транслат скупа A за x, дефинисан као A + x = { a + x: a ∈ A }, такође Лебег мерљив и има исту меру као A.
  • λA ≥ 0 за сваки Лебег мерљив скуп A.
  • Ако су A и B Лебег мерљиви и A је подскуп од B, онда је λA ≤ λB. последица тачака 2, 3 и 4.
  • Ако је A Лебег мерљив скуп са λA = 0 скуп мере нула, онда је сваки подскуп од A такође скуп мере нула. А фортиори је сваки подскуп од A мерљив.

Сви горњи искази се могу сумирати на следећи начин:

Лебег мерљиви скупови граде σ-алгебру која садржи све производе интервала и λ је јединствена комплетна транслационо-инваријантна мера на тој σ-алгебри таква да је λ =1.}

Лебег мера такође има својство да је σ-коначна.

                                     

3. Нула скупови

Подскуп од R n је нула скуп ако, за свако ε > 0, може да буде покривен помоћу пребројиво много производа интервала чији је укупна запремина највише ε. Сви пребројиви скупови су нула скупови.

Ако подскуп од R n има Хаусдорфову димензију мању од n онда је он нула скуп у односу на n -димензиону Лебег меру. Овде је Хаусдорфова димензија у вези са еуклидском метриком на R n или било којом метриком која је са њом Липшиц-инваријантна. Са друге стране, скуп може да има тополошку димензију мању од n, да има позитивну n -димензиону Лебег меру. Пример овога је Сми-Волтера-Канторов скуп чија је тополошка димензија 0 а ипак има позитивну 1-димензиону меру Лебега.

Како би се показало да је дати скуп A Лебег мерљив, обично се тражи згоднији скуп B, који се од A разликује само за нула скуп у смислу да је симетрична разлика A Δ B = A − B ∪ B − A нула скуп) и онда се покаже да се B може генерисати коришћењем пребројивих унија и пресека отворених или затворених скупова односно, да је B Борелов скуп. За сваки Лебег мерљив скуп постоји Борел мерљив скуп B такав да је A Δ B нула скуп.



                                     

4. Конструкција мере Лебега

Модерну конструкцију мере Лебега засновану на спољашњим мерама, је дао Каратеодори.

Фиксира се n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} }. Кутија у R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} је скуп облика B = ∏ i = 1 n }, где је b i ≥ a i {\displaystyle b_{i}\geq a_{i}}. Запремина vol ⁡ B {\displaystyle \operatorname {vol} B} ове кутије се дефинише као ∏ i = 1 n b i − a i. {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}b_{i}-a_{i}.}

За сваки подскуп A од R n, може се дефинисати његова спољашња мера λ ∗ A {\displaystyle \lambda ^{*}A} као:

λ ∗ A = inf { ∑ j ∈ J vol ⁡ B j: { B j: j ∈ J } je prebrojiva kolekcija kutija cija unija pokriva A }. {\displaystyle \lambda ^{*}A=\inf {\Bigl \{}\sum _{j\in J}\operatorname {vol} B_{j}:\{B_{j}:j\in J\}{\text{ je prebrojiva kolekcija kutija cija unija pokriva }}A{\Bigr \}}.}

Затим се дефинише да је скуп A Лебег мерљив ако

λ ∗ S = λ ∗ S ∩ A + λ ∗ S − A {\displaystyle \lambda ^{*}S=\lambda ^{*}S\cap A+\lambda ^{*}S-A}

за све скупове S ⊂ R n {\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}. Ови Лебег мерљиви скупови формирају σ-алгебру, и мера Лебега се дефинише на овој σ-алгебри као λA = λ * A за сваки Лебег мерљив скуп A.

По Виталијевој теореми постоји подскуп реалних бројева R, такав да није Лебег мерљив. Важи и много више: ако је A било који подскуп од R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} позитивне мере, онда A има подскупове који нису Лебег мерљиви.

                                     

5. Однос са другим мерама

Борелова мера је сагласна са мером Лебега на оним скуповима на којима је дефинисана; међутим, постоје много више Лебег мерљивих скупова него Борел мерљивих скупова. Прецизније, може се показати да је σ-алгебра Борел мерљивих скупова кардиналности c кардиналност континуума, док је σ-алгебра Лебег мерљивих скупова строго веће кардиналности 2 c види Канторов дијагонални поступак. Борелова мера је транслационо-инваријантна, али није комплетна.

Мера Хара се може дефинисати на свакој локално компактној групи и представља уопштење мере Лебега која представља меру Хара на R n са структуром локално компактне групе у односу на сабирање.

Хаусдорфова мера видети: Хаусдорфова димензија је уопштење мере Лебега које је корисно за мерење подскупова од R n димензија мањих од n, као што су подмногострукости на пример, површи или криве у R ³. Не треба мешати Хаусдорфову меру и појам Хаусдорфове димензије.

Може се показати да не постоји аналогон мере Лебега у просторима бесконачне димензије.

Мера Лебега даје један појам "малих скупова", наиме скупова мере нула, за које кажемо да су "мали" у смислу теорије мере. Постоје и други појмови "малих скупова", као што су, на пример пребројиво бесконачни скупови "мали" у смислу кардиналности или скупови прве категорије "мали" у тополошком смислу Берове теорије категорија. Ови појмови нису увек компатибилни; на пример, интервал се може представити као дисјунктна унија скупа прве категорије и скупа мере нула.

                                     

6. Историја

Анри Лебег је ову меру описао 1901, а следеће године је описао Лебегову интеграцију. И један и други појам су објављени као део његове дисертације 1902.