Back

ⓘ Коначно поље




                                     

ⓘ Коначно поље

У математици, коначно поље или GF - је поље које садржи коначан број елемената. Као и у било ком пољу, коначно поље је скуп, у ком су операције множења, сабирања, одузимања и дељења утврђена и задовољавају одређена основна правила. Најчешћи примери коначних поља су у целим бројевима по модулу p када p је прост број.

Број елемената коначног поља се зове га ред. Коначно поље реда q постоји, ако и само ако је ред q - степен простог броја p^k где p је прост број, а k - позитиван цео број. Сва поља овог реда су изоморфна. У пољу реда p^k, додавањем p примерака било ког елемента увек резултује нулом; p је карактеристика поља.

Код коначног поља реда q, полином X^q − X поседује q елементе коначног поља као корене. Ненулти елементи коначног поља граде мултипликативну групу. Ова група је циклична, тако да се сви ненулти елементи могу приказати као степени једног елемента званог примитивни елемент поља уопштено постоји неколико примитивних елемената задатог поља.

Поље садржи, по дефиницији, комутативну операцију множења. Општа алгебарска структура, која задовољава све остале аксиоме поља, али чија операција множења не мора да буде комутативна се зове прстен дељења у енглеској литератури skew field. Према Ведербурновој теореми, сваки коначан прстен дељења треба да буде комутативан и, самим тим, коначно поље. Овај показује да ограничење коначности може имати алгебарске последице.

Коначна поља су фундаментална у неколико области математике и информатике, укључујући теорију бројева, алгебарски геометрије, Галоа теорије, геометрије коначних тела, криптографија и теорије кодирања.

                                     

1. Дефиниције, први примери и основна својства

Коначно поље је коначан скуп дефинисан са четири операције: множење, сабирање, одузимање и дељење изузето дељење са нулом која задовољавају правила аритметике, позната као аксиоми поља. Најједноставнији примери коначних поља су проста поља: за сваки прост број p, поље GFp такође означен Z / p Z, или F p реда то јест величина p се лако гради као цео број по модулу p.

Елементи простог поља се могу представити целим бројевима у опсегу од 0., p − 1. Збир, разлика и производ се израчунавају узимањем остатка са p целобројног резултата. Мултипликативни инверзни елемент се може израчунати коришћењем напредног алгоритма еуклидске геометрије видети Проширени Еуклидов алгоритам § Notes.

Нека је F - коначно поље. За било који елемент x из F и било који цео број n означимо n ⋅ x као збир n копија x. Најмањи позитивни n, такав да је n ⋅1 = 0 мора да постоји и он је прост број; ово је карактеристика поља.

Ако је p карактеристика F, можемо помножити елемент k из GFp са елементом x од F избором целог броја представника k елемента. Ово множење пребацује F у GFp -вектор простор. Одавде следи да је број елемената F поља: p n за неки цео n.

За сваки прост број p и сваки позитиван цео број n постоји коначно поље реда p n и сва поља овог реда изоморфна. Тако мо одредити сва поља реда p n, тако да је јединствено означен, F p n или GFp n, где су слова ГФ значи "поље Галоис".

                                     

1.1. Дефиниције, први примери и основна својства Пример

Поље GF64 има неколико занимљивих особина, које мања поља немају: оно има две подобласти такве да се ниједна не садржи у другој; нису сви генератори елементи са минималним полиномом степена 6 над GF2) примитивни елементи; такође нису сви примитивни елеменати у вези Галоа групе.

Ред овог поља 2 6 и делитељи 6 су 1, 2, 3, 6, подпоља GF64 су GF2, GF2 2 = GF4, GF2 3 = GF8 и GF64. А 2 и 3 су прости бројеви, пресек GF4 и GF8 у GF64 је просто поље GF2.

                                     

1.2. Дефиниције, први примери и основна својства Веза са другим класама комутативних прстена

Коначна поља се налазе у следећем ланцу циклуса:

комутативни прстенови ⊃ интегрални домени ⊃ интегрални затворени домени ⊃ GCD домени ⊃ јединствени факторизациони домени ⊃ принципални идеални домени ⊃ Еуклидови домен ⊃ поља ⊃ коначна поља

                                     
  • бројева C и, за сваки прост број p, коначно поље целих бројева по модулу p, што се означава Z pZ, Fp или GF p За свако поље K, скуп K X рационалних функција
  • погрешним називом Рашко Поље Мештани су одувек своје село звали Рошко Поље по оближњем средњовековном граду Рогу, коначно је 2012. године и званично
  • Магнетном пољу је наставио Фарадеј, а коначно теоријско утемељење је у својим радовима поставио Максвел. Магнетно поље је векторско поље свака тачка поља може
  • алгебри поље алгебарских бројева се означава са F и представља коначно проширење поља рационалних бројева Q, то јест, поље које садржи поље рационалних
  • Грубишно Поље чеш. Hrubečné Pole је град у Хрватској. Грубишно Поље је смештено на југозападним обронцима Билогоре. Подручје града простире се на површини
  • multiplikativna grupa u slučaju lokalnih polja sa konačnim poljem ostatka i idealna grupa klasa u slučaju globalnih polja Konačna abelovska ekstenzija koja odgovara
  • Макадамски пут иде кроз Ћившин До, надаље кроз шуму, Мекота поље Орловаче и коначно Заграђско поље односно само насеље Заграђе које се налази на око 900
  • Поље снова енгл. Field of Dreams је амерички спортски фантастични драмски филм из 1989. године, режисера и сценаристе Фила Олдена Робинсона, базиран
  • polje Nezavisna priroda polja postala je očitija otkrićem Džejmsa Klerka Makvela da se talasi na tim poljima šire konačnom brzinom. Konsekventno, sile
  • спољашњем магнетном пољу Обртно магнетно поље јесте поље које се окреће око магнетног статора. Променљиво магнетно поље јесте поље чија се јачина може